3.4互斥事件

教学目标

1．知识技能

（1）了解互斥事件和对立事件的概念，能判断某两个事件是否为互斥事件，进而判断它们是否为对立事件.

（2）了解互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率和为1.

（3）运用互斥事件概率和公式及对立事件的概率和进行简单的概率计算.

2．过程与方法

通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．

3．情感态度与价值观

注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维．

重点与难点

教学重点：互斥事件及其发生的概率的计算．

教学难点：互斥事件概率和公式的证明．

教学过程

一、问题情境

问题1：体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：

从这个班任意抽取一位同学：

（1）这位同学的体育成绩为优的概率是多少？0.18

（2）这位同学的体育成绩为良的概率是多少？0.3

（3）这位同学的体育成绩为优或良的概率是多少？0.48

问题2：由1，2，3，4，5，6六个数字中任取一个数字：

（1）它是2的倍数的概率为多少？

（2）它是3的倍数的概率为多少？

（3）它是2的倍数或3的倍数的概率为多少？

[探究]对比问题1和问题2异同，谈谈你的看法？

0.18＋0.3＝0.48两个事件不能同时发生

＋≠，两个事件可能同时发生

二、数学理论

1．互斥事件：

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．

一般地，如果事件A₁、A₂、…、A_n中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A₁、A₂、…、A_n彼此互斥．

2．互斥事件的概率

事件A可以看作若干个基本事件构成的集合，这样，可以从集合的角度来研究互斥事件若事件A与事件B互斥，即事件A与事件B对应的两集合交集为空集，换句话说：事件A与事件B不存在相同的基本事件（见韦恩图）

A

B

I

注：A＋B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中至少有一个发生．（不要理解为同时发生），事件“A₁＋A₂＋…＋A_n”表示这样一个事件：在同一试验中，A₁，A₂，…，A_n至少有一个发生．

如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即．

一般地，如果事件两两互斥，则

．

问题：互斥事件一定不能同时发生,那么是否可以同时不发生？举例说明.

3．对立事件

两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为．

对立事件和必有一个发生，故是必然事件，从而．因此，我们可以得到一个重要公式．

从集合的角度看，事件A的对立事件所包含的结果组成的集合是全集中事件A中所包含的结果组成的集合的补集．（见韦恩图）

A

B

I

问题：对立事件是互斥事件的特殊情形，试说明这种特殊性的表现.

前者两个事件都可以不发生，但后者两个事件必有一个发生

问题：举出对立事件的实例.

三、数学运用

例1一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件，摸出1只白球和1只黑球为事件．问事件和是否为互斥事件？是否为对立事件？

解：事件和互斥．

因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件和不是对立事件．

例2某人射击1次，命中7---10环的概率如下表所示：

（1）求射击一次，至少命中7环的概率；

（2）求射击1次，命中不足7环的概率．

解：记事件“射击1次，命中环”为则事件两两相斥．

（1）记“射击一次，至少命中7环”的事件为，那么当，，或之一发生时，事件发生．由互斥事件的概率加法公式，得

=

=．

（2）事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命中至少7环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足7环”．根据对立事件的概率公式，得

．

答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1．

例3黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：

（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

解：（1）对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为它们是互斥的．由已知，有

．

因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件．根据互斥事件的加法公式，有

．

（2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件

，且

．

答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36．

注：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有

说明：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率。

四、回顾小结

1．概念：

互斥事件事件A+B对立事件

2．在求某些复杂事件（如“至多、至少”的概率时，通常有两种方法：

（1）将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和;

（2）求此事件的对立事件的概率．

五、作业